On se déplaçait de loin pour goûter aux fameux gâteaux de la pâtisserie Le Quatre-Quarts. Sur sa devanture, on pouvait lire en larges lettres dorées « Un bon gâteau est un gâteau qui se partage » et ces mots étaient bien plus qu’une devise : il s’agissait d’une contrainte géométrique. On pouvait en effet y acheter toutes sortes de gâteaux aux formes plus ou moins étranges, mais qui toutes avaient la propriété suivante : elles étaient omnisectrices, c’est-à-dire qu’il était possible de les découper en n’importe quel nombre de parts de même taille et de même forme. Ainsi, si vous achetiez un gâteau sans savoir précisément le nombre d’invités entre lesquels il allait falloir le partager, vous ne pouviez pas vous tromper !

Bien sûr, on pouvait trouver dans ses vitrines de traditionnelles tartes rondes, partageables à volonté en parts triangulaires (figure A) ou des entremets rectangulaires pouvant être coupés en autant de tranches parallèles que nécessaire (figure B). Mais on pouvait aussi y observer des formes plus étranges, dont l’omnisectricité était loin d’être évidente.

Sauriez-vous découper les gâteaux illustrés par les figures C et D en deux, trois, quatre ou davantage de parts égales (en forme et en taille) ?

Un jour, le chef pâtissier se demanda s’il pouvait proposer un gâteau en forme de triangle équilatéral. Après quelques recherches, il trouva le moyen de le couper en deux, trois ou quatre parts égales, mais ne parvint pas à trancher totalement la question pour n’importe quel nombre de parts. Il contacta alors une géomètre experte de la question. La réponse de cette dernière le laissa pourtant dans un embarras encore plus grand.

Sauriez-vous deviner pourquoi ?